Imaginons Bob.

C’est l’anniversaire de Bob aujourd’hui, et une amie pas trop inspirée et un peu cheap lui a offert un magnifique cadeau : un billet de Lotto 6/49. 

Pour jouer au Lotto 6/49, il faut choisir six nombres uniques parmi les entiers compris entre 1 et 49 inclusivement. Lors du tirage, un ordinateur génère au hasard six nombres du même ensemble. On compare alors les nombres choisis et les nombres générés, et dépendamment de combien d’entre eux coïncident (l’ordre n’a pas d’importance), on gagne un lot allant de rien pantoute à 8 811 827 $.

Voici un fort utile tableau présenté par Loto-Québec¹Les astérisques indiquent qu’il s’agit de lots moyens. :

Catégorie	Lot	Chances de gagner
6/6	8 811 827 $*	1 / 13 983 816
5/6+C	110 841 $*	1 / 2 330 636
5/6	2 199 $*	1 / 55 492
4/6	78 $*	1 / 1 033
3/6	10 $	1 / 56,7
2/6+C	5 $	1 / 81,2
2/6	Participation gratuite	1 / 8,3

« X/6 » signifie que X numéros choisis sont les mêmes que ceux générés par l’ordinateur. « C » signifie numéro complémentaire et je sais pas c’est quoi parce que j’ai jamais joué de ma vie au Lotto 6/49 et est-ce que ça devrait pas s’appeler 7/49 alors? (J’apprends à l’instant qu’il s’agit d’un 7^e numéro qui est tiré et qui peut correspondre à l’un des six numéros choisis. On va se coucher moins niaiseux.)

Toujours selon Loto-Québec, les chances de gagner un prix, n’importe lequel (y compris un billet gratuit), sont d’environ 1 sur 6,6 — soit autour de 15%.

Ce qui nous permet d’ajouter la rangée manquante du tableau de Loto-Québec :

Catégorie	Lot	Chances de gagner
0/6 ou 1/6	Rien pantoute	5,6 / 6,6 soit environ 11 865 056 / 13 983 816

Retour à Bob.

Alice, l’amie de Bob, a choisi les numéros 5, 16 et 17 parce que l’anniversaire de Bob c’est le 16 mai et cette année c’est 2017. Elle a aussi choisi le 3, le 13 et le 33 parce que le trois est son « chiffre chanceux ». (Alice aime affirmer qu’elle n’est pas superstitieuse : à preuve, pour elle, le nombre 13 est chanceux.)

À son party de fête, Bob ouvre l’enveloppe et découvre le mirifique cadeau d’Alice. Imaginons ensemble le sourire forcé de Bob.

Bob, toujours poli, remercie Alice pour la belle pensée, mais au fond, Bob est gêné. Il est gêné parce qu’il sait très bien que la loterie, c’est stupide et illogique et irrationnel et que c’est un gaspillage total d’argent, même pour un cadeau d’anniversaire, même si ça ne coûtait que la somme modique de 3 $.

Bob se retient de faire la remarque, et le party continue dans le bonheur et l’allégresse. La musique est bonne, et la bière coule à flots, tout comme le rhum and coke et les mojitos, et bientôt Bob se retrouve modérément saoul, ce qui permet à ses opinions de s’exprimer sans passer par le filtre de sa politesse.

« Eille, un billet de loterie, tu parles d’un cadeau de marde », lance-t-il à son chum Carlos sans avoir conscience qu’Alice se trouve à portée de sa voix amplifiée par l’alcool.

S’ensuit une longue discussion sur des thèmes tels que « c’est l’intention qui compte », « c’est vrai qu’on a pas grand-chance de gagner à la loto, mais c’est le fun de rêver à ce qu’on pourrait faire avec l’argent », ou encore « t’as quand même une chance, ce n’est pas zéro ».

Les deux premières phrases encadrées de guillemets sont déjà problématiques. Mais c’est la dernière qui fait soudainement tiquer Bob.

Alice en rajoute : « Il y a une immense différence entre 0 chance sur 14 millions et 1 chance sur 14 millions ». Plusieurs amis opinent.

Et là Bob se fâche. « Non, dit-il en élevant le ton, la différence entre 0 sur 14 millions et 1 sur 14 millions est exactement de 1 sur 14 millions, et à toutes fins pratiques ce nombre est à peu près égal à zéro… »

« À peu près! » s’exclame triomphalement Alice.

Bob s’entête. Il explique que cet « à peu près zéro », justement, ne compte pas, que c’est une façon de dire zéro, parce qu’un esprit rationnel n’admettra jamais une probabilité de 0 ni, d’ailleurs, de 100%, parce qu’on n’est jamais parfaitement sûr de rien…

Bob s’arrête, soudain conscient qu’il vient de se tirer dans le pied.

« Exactement! lance Alice. On n’est jamais sûr de rien, alors tu ne peux pas être sûr que tu vas pas gagner! »

Bob soupire. Les trois bières et les deux cocktails qui circulent désormais dans son système ne le laissent pas en pleine possession de ses moyens, et son argumentaire s’enlise. Il va avoir besoin d’aide extérieure. Allons à la rescousse de Bob.

Commençons par affirmer ceci :

Bob et Alice souffrent de biais cognitifs

Et ils ne sont pas seuls.

Le cerveau humain, bien qu’incroyablement complexe et capable de grandes choses, est une machine assez mal faite. Les biais cognitifs sont ces tendances naturelles à penser et à agir de façon irrationnelle, comme en prêtant davantage de crédibilité à un fait qui soutient nos croyances (biais de confirmation) ou en finissant son assiette au restaurant même si on n’a plus faim parce qu’on « a déjà payé pour » (coût irrécupérable).

Les biais cognitifs sont partout, et ils abondent lorsqu’on parle de probabilités. Un exemple connu est celui de l’erreur du parieur, qui survient lorsqu’on parie sur « pile » après avoir observé trois « face » de suite parce qu’on a l’impression que l’univers doit rééquilibrer les résultats. Ou, pour revenir au Lotto 6/49, ce serait d’étudier les numéros des tirages précédents afin de miser sur les numéros qui sont moins sortis parce qu’ils sont dus.

Ce qui permet à Alice de dire qu’il y a une « immense différence » entre 0 / 14 000 000 et 1 / 14 000 000 est un autre biais cognitif.

Eliezer Yudkowski fait remarquer que même si on peut décrire, à l’aide des mathématiques, des nombres aussi minuscules que 1 / 14 millions, voire 1 / 1 gogolplex²Un gogol = 10¹⁰⁰ = 1 suivi de 100 zéros = 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000. Le nombre d’atomes dans l’Univers est largement inférieur à un gogol (environ cent milliards de milliards de fois plus petit). Un gogolplex = 10^gogol = 1 suivi de gogol zéros. (Faut-il dire un gogol zéros? Gogol zéros? Un gogol de zéros? Ça a l’air ridicule dans tous les cas, il me semble.), le cerveau humain n’est pas équipé pour ressentir des nombres de ces ordres de grandeur. En calculant une probabilité infinitésimale, le cerveau comprend que cette probabilité a une certaine importance, simplement parce qu’il a mis un effort à la calculer (ou à la lire dans un tableau de Loto-Québec). Même le niveau de perception le plus faible imaginable est encore beaucoup trop intense pour ce que représente réellement un nombre aussi petit.

D’où l’analogie suivante avec les niveaux de gris.

L’analogie suivante avec les niveaux de gris

Voici un niveau de gris (ou luminosité) de zéro, selon le système hexadécimal de couleurs utilisé sur le web (#000000³Le système hexadécimal — un système à 16 chiffres, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F — représente les couleurs comme des combinaisons de trois valeurs, rouge, vert et bleu. Chacune peut aller de zéro (00) à 255 (FF). Donc #FF00CC représente une combinaison de 255 rouge, 0 vert et 204 bleu (CC hexadécimal = 204 décimal) qui donne cet élégant rose nanane. Lorsque les trois valeurs sont égales, on obtient du gris.).

Disons que ça représente une probabilité de zéro qu’un événement se produise. À l’autre bout de l’échelle, on a un niveau de 100% (#FFFFFF).

Cette couleur représente une certitude que l’événement se produise.

Voici à quoi ressemble une probabilité de 50% — celle d’une pièce parfaitement équitable lors d’un pile ou face, par exemple (#080808).

Vous me voyez venir. Une probabilité de un sur 14 millions sera extrêmement près du noir absolu. À quel point?

En hexadécimal, cette couleur se nomme #010101. En d’autres mots, la valeur de rouge, de vert et de bleu est égale à 1 sur 255, alors qu’elle est égale à 0 dans le cas du noir absolu. Mettons #000000 (à gauche) et #010101 (à droite) côte à côte :

Voyez la différence?

Moi pas. J’ai beau bouger mon écran dans tous les angles, ça semble à mes pauvres yeux humains être exactement la même couleur. Il faut que j’augmente le niveau de gris à #060606 pour pouvoir percevoir une différence, et encore, il est fort possible que je n’y arrive qu’avec l’aide d’une bonne dose d’imagination et en observant mon écran avec un angle très prononcé.

Si on augmente encore un peu les valeurs, la différence devient apparente. Mais revenons à #010101. Sur une échelle où 0 représente le noir absolu et 255 le blanc absolu, on a donc 254 niveaux de gris, et #010101 est le plus noir de tous ces gris. En suivant mon analogie, #010101 représente une chance sur 255.

Une chance sur 255, c’est beaucoup, beaucoup plus qu’une chance sur 13 983 816. Combien? 54 838 fois plus.

Essayons d’imaginer un gris 54 838 fois plus foncé que #010101.

Essayons d’imaginer un gris correspondant à une chance sur un milliard. Sur un trillion. Sur un gogolplex.

Tous ces niveaux de gris sont absolument impossibles à distinguer du noir absolu, tout comme les probabilités correspondantes sont absolument impossibles à distinguer de zéro. En fait, dès qu’on sort de la théorie et qu’on s’intéresse au réel, ces probabilités infinitésimales sont le point le plus près de zéro qu’on puisse approcher. Dans la réalité, il n’y a jamais de probabilités de zéro ni de 100%, parce qu’on laisse toujours une infime chance que les faits contredisent même nos estimations les plus certaines. Les chances que le soleil se lève demain sont d’à peu près 100%, mais nous pourrions être dans un univers simulé dont le créateur a subitement décidé de vaporiser le soleil durant la nuit. Les chances que cette proposition soit vraie sont d’à peu près zéro. En pratique (mais pas dans l’absolu), elles sont de zéro.

En pratique (mais pas dans l’absolu), les chances de gagner au Lotto 6/49 sont aussi de zéro. (Du moins, en ce qui concerne le gros lot. Les chances de gagner quelque chose, même un billet gratuit, sont de 1 sur 6,6, ce qui correspond approximativement au gris #272727 — ce qui est encore trop noir pour moi.)

Et pour répondre à Alice (« On n’est jamais sûr de rien, alors tu ne peux pas être sûr que tu vas pas gagner! »), je fais à nouveau appel à Yudkowsky⁴C’est pas mal son travail sur la rationalité qui inspire tout le texte que vous lisez pour souligner une erreur cognitive qu’il appelle « the fallacy of gray ». Tout n’est pas blanc ou noir, mais on ne saurait conclure que tous les gris se valent : les nuances sont importantes et font toute la différence. De la même manière, rien n’est vrai ou faux avec certitude — ce qui ne permet pas pour autant d’ignorer toutes les nuances d’incertitude.

« J’ai 45 356 critiques à faire sur ton analogie »

Bien sûr, l’analogie entre probabilités et niveaux de gris est imparfaite. Comme toutes les analogies.

Le spectre des gris web, avec ses 256 nuances, ne peut être qu’une approximation du spectre (infini) des probabilités comprises entre 0 et 100%. Quant au spectre des nuances détectables par l’œil humain (autour de 30, selon un article du toujours gracieux Daily Mail), il s’agit d’une approximation encore moins précise.

D’ailleurs, une chance sur 255, même si c’est très faible, ce n’est pas négligeable. À quel point une probabilité devient-elle si petite qu’elle est en pratique égale à zéro? Je doute qu’il y ait une réponse à cette question.

Ajoutons à cela qu’une progression linéaire n’est sans doute pas la meilleure façon de représenter les probabilités — une échelle logarithmique serait plus appropriée. C’est possiblement aussi le cas pour la perception des niveaux de gris.

Malgré tout, je crois que l’analogie a une certaine valeur. Le cerveau ne peut pas percevoir et ressentir adéquatement les probabilités; une représentation sensorielle pourrait donc permettre de mieux les appréhender et, ainsi, de prendre des décisions plus rationnelles.

Ce qui nous emmène au but réel du présent article.

La méthode des nuances de gris n’est pas utile que dans le cas des jeux de hasard, ni même dans ceux où l’on fait intervenir des probabilités de façon explicite — sondages, statistiques, etc. Dans les faits, elle s’applique à tout.

Quelle est la nuance de gris que le soleil se lève demain matin? En me basant sur mon expérience, je dis : quasi blanc (#fefefe).

Quelle est la nuance de gris que les actions de [insérer ici une compagnie où vous avez trop d’actions] augmentent au courant de la semaine? #c6c6c6, peut-être?

Quelle est la nuance de gris que j’aie du plaisir en passant l’aspirateur? Un gris assez foncé, sans doute. Mais la nuance de gris que je sois content de vivre dans un appartement dénué de grosses touffes de poussière vagabondent tire plutôt sur le blanc.

Quelle est la nuance de gris que Dieu existe? Pour moi, c’est un gris très foncé, mais peut-être pas un noir presque absolu. Pour d’autres, ce sera un gris beaucoup plus pâle, allant jusqu’à la quasi-certitude (qui est, je le répète, le plus haut degré de certitude atteignable — la certitude absolue n’existe pas).

La méthode des nuances de gris peut être généralisée à tout ce qu’on sait (ou croit savoir). Elle permet de systématiser le degré de confiance qu’on possède envers chaque croyance ou connaissance. Naturellement, ce qui est universel, c’est l’idée de probabilité : tout ce qu’on croit, on le croit avec un certain degré de certitude. Mais les probabilités, c’est des maths, et le cerveau humain, je ne vous apprends rien, n’est généralement pas un grand amateur de maths.

Il est important de tout voir avec la lentille de la probabilité, car il est important, pour être en mesure d’atteindre ses propres objectifs, de posséder une connaissance précise du monde — et de son propre degré d’ignorance par rapport à cette connaissance. Une vision probabiliste du réel permet de déjouer certains biais cognitifs.

Mais si, comme Alice, vous n’aimez pas trop les probabilités, essayez au moins de voir la vie en gris.

Notes en terminant

1. J’en veux à E.L. James et à son livre Fifty Shades of Grey pour avoir irrémédiablement associé un concept aussi banal que les nuances de gris avec la romance érotique sadomasochiste.
2. En me documentant sur la façon de représenter la couleur sur le web, j’en suis venu à la conclusion que je n’y connais pas grand-chose, à la couleur, et que c’est un sujet d’une profondeur insoupçonnée. (D’ailleurs, il est possible que #000000 et #010101 soient vraiment identiques tout dépendant des paramètres d’affichage de votre moniteur. Je sais pas trop.) Je compte bien explorer davantage le monde de la couleur dans une publication future.
3. Alice et Bob se sont réconciliés, merci de vous inquiéter pour eux. Bob n’a toutefois rien gagné au 6/49, pas même un billet gratuit.